21.阅读以下材料,并按要求完成相应的任务:
莱昂哈德•欧拉(leonhardeuler)是瑞士数学家,在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数,公式和定理,下面就是欧拉发现的一个定理:在△abc中,r和r分别为外接圆和内切圆的半径,o和i分别为其中外心和内心,则oi
2=r
2-2rr.
如图1,⊙o和⊙i分别是△abc的外接圆和内切圆,⊙i与ab相切于点f,设⊙o的半径为r,⊙i的半径为r,外心o(三角形三边垂直平分线的交点)与内心i(三角形三条角平分线的交点)之间的距离oi=d,则有d
2=r
2-2rr.
下面是该定理的证明过程(部分):
延长ai交⊙o于点d,过点i作⊙o的直径mn,连接dm,an.
∵∠d=∠n,∠dmi=∠nai(同弧所对的圆周角相等).
∴△mdi∽△ani.∴
=
,∴ia•id=im•in,①
如图2,在图1(隐去md,an)的基础上作⊙o的直径de,连接be,bd,bi,if.
∵de是⊙o的直径,所以∠dbe=90°.
∵⊙i与ab相切于点f,所以∠afi=90°,
∴∠dbe=∠ifa.
∵∠bad=∠e(同弧所对的圆周角相等),
∴△aif∽△edb,
∴
=
.
∴ia•bd=de•if②
任务:
(1)观察发现:im=r d,in=
(用含r,d的代数式表示);
(2)请判断bd和id的数量关系,并说明理由.
(3)请观察式子①和式子②,并利用任务(1),(2)的结论,按照上面的证明思路,完成该定理证明的剩余部分;
(4)应用:若△abc的外接圆的半径为5
cm,内切圆的半径为2
cm,则△abc的外心与内心之间的距离为
cm.